03 Januari, 2009

MATERI MATEMATIKA




Penyusun : Fitria Dewi H. NIM: 060496
Penyusun : Ita Puspita NIM : 060486

MATERI MATEMATIKA
SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP)
MADRASAH TSANAWIYAH (MTs)
Kelas IX




POLA BILANGAN, BARISAN DAN DERET BILANGAN


Standar Kompetensi
Memahami Barisan dan Deret Bilangan serta Penggunaanya dalam Pemecahan Masalah

Kompetensi Dasar
1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana
2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri
4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

Indikator
1. Dapat menentukan dan menghitung suku ke-n barisan bilangan
2. Dapat mengenal pengertian deret aritmatika naik dan turun
3. Dapat memukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmatika
4. Dapat mengenal pengertian deret geometri naik dan turun
5. Dapat menemukan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri
6. Dapat menggunakan konsep deret dalam kehidupan sehari-hari



Daftar Isi
Diagram Barisan dan Deret Bilangan
A. Pola Bilangan
1. Pengertian Pola Bilangan
2. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
B. Barisan dan Deret Bilangan
1. Barisan Bilangan
2. Deret Bilangan
3. Barisan Aritmetika
4. Deret Aritmetika
5. Barisan Geometri
6. Deret Geometri
C. Ringkasan
D. Latihan
E. Daftar Pustaka




Diagram Barisan dan Deret Bilangan




A. Pola Bilangan





1. Pengertian Pola Bilangan


Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola. Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.
a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil. Pola barisan ini dapat dilihat pada Gambar (a)
Gambar (a)
b. Barisan 2, 4, 6, 8, .... Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap. Polanya dapat dilihat pada Gambar (b)
Gambar (b)
c. Pola yang dapat disusun dengan barisan bilangan berikut.
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 1 + 2 + 3 + 4
Seperti Gambar (c)
Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.
d. Amati pola bilangan pada Gambar (d)


Pola bilangan pada Gambar (d) disebut pola bilangan persegi.
e. Pola bilangan persegipanjang dapat kamu lihat pada Gambar (e)
Gambar (e)

2. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal
Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yang berbentuk segitiga adalah Blaise Pascal.

Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak dalam Gambar (f).

Gambar (f)


Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu barisan dengan aturan berikut.
1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, ... merupakan barisan bilangan pada segitiga Pascal. Segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada suku banyak (x+y)n dengan n bilangan asli.
Misalnya,




B. Barisan dan Deret Bilangan


1. Barisan Bilangan


Bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya, barisan bilangan
a. 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116
b. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan
c. 2, 4, 6, 8, 10, ...,98.
Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari bilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan) tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan bilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang.
Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan bilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan tersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, dan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1, suku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61. Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan.


2. Deret Bilangan

Amati kembali barisan-barisan bilangan berikut.
a. 40, 44, 48, 52, 56,
b. 1, 3, 5, 7, 9,
c. 2, 4, 6, 8, 10.
Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh penjumlahan berikut.
a. 40 + 44 + 48 + 52 + 56,
b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9,
c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10.
Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret.
Oleh karena itu, jika U1, U2, U3, ..., Un adalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Un dinamakan deret.


3. Barisan Aritmetika

Amati kedua barisan bilangan berikut.
a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un,
b. 99, 96, 93, 90, ..., Un,
Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang demikian dinamakan barisan aritmetika.
Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum, barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut.
Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b.
Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un menjadi


Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dirumus kan sebagai berikut.
Un = a + (n – 1) b
Contoh:
Tentukan suku ke-100 dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, ...
Penyelesaian:
Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, ... diperoleh bahwa suku pertama a = 1 dan beda b = 2 , sehingga:
Un = a + (n-1) b
U100 = 1 + (100-1) 2
= 199



4. Deret Aritmetika

Berdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3, dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut.
a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un.
Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai Un semakin besar.
b) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un.
Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai Un semakin kecil.
Kamu dapat menentukan suku-suku pada deret aritmetika sebagai berikut. Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan dengan Sn maka

Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Oleh karena Un = a + (n – 1)b, rumus Sn dapat dituliskan sebagai berikut.

atau
Contoh:
Hitunglah jumlah 40 suku pertama pada tiap deret aritmatika berikut ini.
3 + 6 + 9 + 12 + ......
Penyelesaian :
a = 3 dan b = U2 - U1 = 6 - 3 = 3
Un = a + (n - 1)b = 3 + (40 - 1) 3 = 4 + 39 (3) = 120
Sn = n(a + Un) /2 = 40 (3 + 120) / 2 = 20 (123) = 2460
Maka Sn = 2460

5. Barisan Geometri


Suatu barisan bilangan U1, U2, U3,...dikatakan Barisan Geometri, jika perbandingan dua suku yang berurutan adalah bilangan tetap.
Bilangan tetap tersebut dinamakan Rasio atau Pembanding dan dinotasikan r.
Misalkan :
Barisan Geometri :
8, 16, 32, 64,....
Dengan Rasio atau Pembanding (r) adalah 2, r = 2
Perhatikan barisan geometri U1, U2, U3,...
Misalkan r adalah rasio dan U1 = a.
Dengan demikian,
r = U2/U1 = U3/U2 =....= Un/Un-1
U1=a U2=ar
Jadi, suku ke-n dari barisan geometri dapat dirumuskan sebagai berikut :

dengan :
a adalah suku pertama
r adalah rasio dan r = Un / Un-1



6. Deret Geometri

Misalkan :
U1, U2, U3,..... adalah Barisan Geometri,
maka :
U1+ U2 + U3 +.... disebut Deret Geometri.
Rumus deret geometri
Misalkan U1 + U2 + U3 + ....
Sn = jumlah n suku pertama U1 = a dan r = U2/U1 = U3/U2 =…...=Un/Un-1
Jumlah n suku pertama ditulis : Sn = U1+U2+U3+....+Un-1+Un
Jumlah n suku pertama deret geometri dengan a suku pertama dan r rasio deret tersebut dirumuskan dengan :
untuk r <>
untuk r > 1 :


Contoh Soal Cerita:




C. Ringkasan

1. Suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut :
Un = a + (n – 1) b

2. Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :

Oleh karena Un = a + (n – 1)b, rumus Sn dapat dituliskan sebagai berikut.


atau


3. Suku ke-n dari barisan geometri dapat dirumuskan :

4. Jumlah n suku pertama deret geometri dengan a suku pertamadan r rasio deret tersebut dirumuskan :

Untuk r <>


Untuk r > 1 :






D. Latihan

Setelah mempelajari materi di atas coba kerjakan dengan baik dan benar soal-soal latihan berikut ini:
1. 1, 4, 7, 10, 13, ....
Dari pola susunan bilangan di atas tentukan tiga bilangan berikutnya.....
2. Diketahui suatu barisan aritmatika
x, (x+y), (x+2y), (x+3y), .....
Jika diketahui beda barisan itu adalah 3 dan suku awalnya adalah kuadrat dari beda, maka berapakah suku ke-15......
3. Jumlah 4 suku pertama deret aritmatika adalah 17 sedangkan jumlah 8 suku pertamanya adalah 58. Tentukan U9 dan S9.....
4. Diketahui: barisan geometri
32, 16, 8, 4, ....
Bilangan pada suku ke-9 adalah....
5. Tentukan jumlah tujuh suku pertama dari deret geometri
8+4+2+1........
6. Dalam suatu ruang kuliah terdapat 10 kursi pada baris pertama, 16 kursi pada baris kedua, 22 kursi pada baris ketiga, dan untuk baris seterusnya bertambah 6 kursi. Jika ruang kuliah memuat 15 baris kursi. Maka rumus suku ke-n yang menyatakan banyak kursi pada baris ke-n adalah.....



E. Tantangan


Pada papan catur di atas terdapat 64 kotak. Kotak pertama diisi 6 butir padi, kotak kedua diisi 12 butir padi, kotak ketiga diisi 18 butir padi, demikian seterusnya setiap kali pengisian berselisih 6 butir. Hitunglah jumlah biji beras pada papan catur berikut.
a. 20
b. 35
c. 41
d. 52
e. 61
f. 64


E. Daftar Pustaka

Djumanta, Wahyudin dan Dwi Susanti. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008.
Forum Tentor. 2008. Kupas Tuntas 1001 Soal Matematika SMP. Yogyakarta: Pustaka Widyatama.
Sujatmiko, Ponco. 2005. Matematika Kreatif Konsep dan Terapan. Solo : Tiga Serangkai.